TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Una de las tantas aplicaciones de la geometría en nuestra vida diaria o en las obras de arte que observamos en museos, libros, en la calle, en revistas, etc.  es el recubrimiento del plano con figuras planas sea estas cuadrados, triángulos, pentágonos, o cualquier polígono regular o irregular y para lograr esto se necesita hacer uso de las transformaciones geométricas.

Entendemos por transformación geométrica a la operación u operaciones que se realizan para encontrar otra nueva figura a partir de una original.

Las transformaciones geométricas se clasifican en dos grandes grupos:
  __ Aquellas que tienen un sentido directo y las llamadas inversas.
__Aquellas en que se mantiene la forma y el tamaño original de la figura original (transformación isométrica) y en las que se crean figuras semejantes a la primera (transformación isomórfica). Dentro de esta última organización encontramos a la transformación geométrica en donde se cambia la forma de la figura original (transformación anamorfa), que en esta ocasión no será tema de estudio.

En algunas transformaciones se combinan las dos clasificaciones mencionadas.

A continuación se realiza una descripción general de cada transformación geométrica:

Traslación: Transformación directa e isométrica.

Transformación geométrica en donde se mantiene el sentido original de la figura base determinado por un vector (elemento principal). La figura trasladada es congruente a la original dado que mantiene fu forma y dimensiones. Un punto y su trasladado se dice que son homólogos y los segmentos que los unen son paralelos entre sí. 

En la construcción Traslación puedes accionar el botón PLAY y observar como es el comportamiento de una traslación.

Simetría Axial: Transformación inversa e isométrica.

Tipo de transformación en donde a cada punto A le corresponde otro punto A´ y el eje de simetría, también llamado de reflexión, es perpendicular mediatriz al segmento que une a un punto con su simétrico. Es un tipo de transformación inverso por que cambia el sentido de dirección de la figura original. La figura original y su simétrica son congruentes. 


Presiona PLAY en la construcción  Simetría Axial y observa su comportamiento.

Simetría central o puntual: Transformación inversa e isométrica.

Transformación en donde a cada punto B le corresponde su simétrico B´, y el punto medio del segmento que los une es el centro de simetría. Para que se dé esta transformación es necesario que cada punto de un giro de 180° respecto al centro de simetría. 

En la construcción Simetría Central podemos observar los elementos principales de la simetría central y dando PLAY al botón vemos su comportamiento. En este tipo de transformación una figura y su simétrica son congruentes.

Rotación o giros: Transformación directa-inversa e isométrica

Será una transformación de giro o rotación cuando se tiene un punto y un ángulo que hacen corresponder el ángulo que forman un punto, el centro de giro y  su simétrico, con el ángulo inicial. El sentido del giro será positivo cuando el movimiento es contrario a las manecillas del reloj y negativo cuando sigue el movimiento de las manecillas. 

Da PLAY en la construcción Rotación.

Homotecia: Transformación directa-inversa e isomórfica.

En esta transformación una figura y su homóloga son semejantes. Y sus puntos homólogos están alineados respecto al centro de homotecia. Además los segmentos que unen al centro de homotecia con un punto y el segmento que va del centro de homotecia a su homólogo deben ser proporcionales, es decir, debe existir una razón proporcionalidad, también llamada razón de homotecia. La razón de homotecia puede ser positiva si conserva el sentido de la figura original respecto al centro de homotecia o negativa si lo cambia. Cuando la razón de homotecia es 1 tendremos figuras congruentes.

 En la construcción Homotecia observa los elementos de la homotecia y da PLAY al botón para que observes su comportamiento.

Fuentes:
http://www.angelfire.com/ma4/g_transform/
http://www.vitutor.com/geo/vec/c_1.html
http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/transformaciones-geometricas-plano/transformaciones-geometricas-plano.pdf
http://pintarcrearpensar.blogspot.mx/2009_11_01_archive.html
http://soniacastillo.disegnolibre.org/2010/12/03/conceptos/traslacion/
http://www.atelierdefengshui.com/mandala1.htm
http://vivi390.blogspot.mx/2010/07/composiciones-formales-traslacion-se-da.html
http://tradiciondepapel.blogspot.mx/

TESELACIONES

Embaldosado, mosaico, teselación son algunas de las palabras con las que se conoce al patrón que se sigue para recubrir el plano. Lo vemos tanto en pisos, paredes, obras de arte, telas, y en muchos otros objetos.

Dentro de las características que identifican a los teselados es que no deben quedar espacios entre las figuras que lo forman, así como que tampoco deben de sobreponerse.

Las figuras que pueden cubrir el plano cumplen con la condición  de que la medida de su ángulo interno es divisor de 360°. Este tipo de teselaciones se les llama regulares y están formadas por triángulos, cuadrados, hexágonos (polígonos regulares).

Para teselar el plano con otras figuras es necesario combinar dos o más figuras, tal es el caso del teselado de pentágonos que se combinan con triángulos isósceles o teselado de octágonos combinados con cudrados. Este tipo de teselaciones se les llama semiregulares. Es necesario que en cada vértice se cumpla el mismo patrón.

Otro tipo de teselaciones son las demiregulres, aunque todavía no se definen. También se pude teselar con figuras irregulares y con círculos.

Existe una relación estrecha entre las transformaciones geométricas y los teselados, ya que para teselar el plano es necesario valerse de ellas, por ejemplo cuando se tesela el plano con triángulos se ubica un centro de giro en uno de los vértices del triangulo y se determina un giro de 60°. En otro tipo de teselación las figuras son trasladadas para recubrir el plano.

MAURITS CORNELIS ESCHER

Uno de los representantes más importantes del teselado del plano es Maurits Cornelis Escher (1898-1972), mejor conocido como M. C. Escher fue un artista destacado y conocido por sus creaciones en las cuales recubría el plano con figuras que salían de su imaginación ya que no seguía ninguna corriente artística. No fue un alumno destacado en la escuela, de hecho no le gustaba asistir. Solo le gustaban sus clases de dibujo.

En 1919 entró a la escuela de arquitectura pero dejó los estudios más adelante se interesó por el grabado en madera, técnica que utilizó en muchas de sus obras.

La mayor parte de su vida la pasó entre Italia, Suiza y España. Hasta una edad adulta dependió económicamente de sus padres hasta que su trabajo se volvió más regular y remunerativo. Cuando esto sucedía desafortunadamente enfermó y murió en 1972 dejando un legado muy importante en ámbito artístico y matemático. Muchas de sus obras son muy conocidas pero hay quienes no conocen su autoría.

La siguiente imagen es obra de Escher, se trata de un teselado hecho con peces en el cual la base del recubrimiento es la simetría puntual o central y los centros de simetría se encuentran en los vértices de los rectángulos que se forman. 
Peces.

Fuentes:
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teselaciones.html
http://www.microsiervos.com/archivo/arte-y-diseno/biografia-mc-escher.html
http://www.mcescher.com/